ÉCOLE ALPHANET ACADEMY

MATHÉMATIQUES – NS3

CHAPITRE 1 : LES FONCTIONS

Cours complet – Enseignement secondaire 3

Plateforme pédagogique en ligne

Discipline : Mathématiques Niveau : NS3 (Nouveau Secondaire 3) Chapitre : Les fonctions Public cible : Élèves de l’École Alphanet Academy Approche : Théorique, progressive, démonstrative et pratique

INTRODUCTION GÉNÉRALE

Les fonctions constituent l’un des fondements essentiels des mathématiques. Elles permettent de décrire les relations entre différentes grandeurs, de modéliser des phénomènes réels, d’étudier les variations de quantités et de résoudre de nombreux problèmes scientifiques, économiques et techniques.

Dans la vie quotidienne, nous rencontrons constamment des situations qui peuvent être représentées par des fonctions :

• Le prix total d’un produit dépend de la quantité achetée.
• La distance parcourue dépend du temps et de la vitesse.
• Le salaire peut dépendre du nombre d’heures travaillées.
• L’aire d’un carré dépend de la longueur de son côté.
• La température peut varier en fonction du temps.

L’étude des fonctions permet donc de passer d’une situation concrète à une expression mathématique, puis d’utiliser cette expression pour effectuer des calculs, construire des tableaux et interpréter des graphiques.

Compétences générales à acquérir

À la fin de ce chapitre, l’élève devra être capable de :

1. Comprendre la notion de relation entre deux ensembles.
2. Définir une fonction et reconnaître ses caractéristiques.
3. Distinguer une relation, une fonction et une application.
4. Déterminer l’ensemble de départ, l’ensemble d’arrivée, le domaine de définition et l’image d’une fonction.
5. Comprendre les notions d’injection, de surjection et de bijection.
6. Déterminer et utiliser une application réciproque.
7. Représenter graphiquement une fonction et interpréter son graphique.
8. Effectuer des opérations sur les fonctions.
9. Calculer une fonction composée.
10. Reconnaître et étudier les principales fonctions numériques usuelles.
11. Résoudre des problèmes mathématiques à l’aide des fonctions.

Organisation du chapitre

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Partie

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Contenu

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| — | — |
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Mise en route

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Découverte des fonctions

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A

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Fonctions et relations

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B

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Applications et bijections

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C

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Opérations sur les fonctions

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D

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Fonctions numériques usuelles

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Synthèse

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Formules et propriétés essentielles

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Évaluation

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Exercices d’application et problèmes

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MISE EN ROUTE : DÉCOUVRIR LES FONCTIONS

1. Situation-problème

Un établissement scolaire organise une excursion. Chaque élève doit payer 500 gourdes pour le transport.

Si xxx représente le nombre d’élèves participants et P(x)P(x)P(x) le montant total collecté, alors :

P(x)=500xP(x)=500xP(x)=500x

Complétons le tableau :

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Nombre d’élèves xxx

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Montant P(x)P(x)P(x)

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| — | — |
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1

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500 G

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2

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1 000 G

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3

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1 500 G

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4

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2 000 G

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5

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2 500 G

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10

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5 000 G

|

On remarque que chaque valeur de xxx détermine une seule valeur de P(x)P(x)P(x).

Ainsi, le nombre d’élèves permet de déterminer le montant total.

Cette correspondance est un exemple de fonction.

2. Une autre situation

Considérons un carré dont le côté mesure xxx centimètres.

Son périmètre est :

P(x)=4xP(x)=4xP(x)=4x

Son aire est :

A(x)=x2A(x)=x^2A(x)=x2

Pour un côté de 5 cm :

P(5)=4×5=20 cmP(5)=4\times5=20\text{ cm}P(5)=4×5=20 cm

A(5)=52=25 cm2A(5)=5^2=25\text{ cm}^2A(5)=52=25 cm2

Une même donnée xxx peut donc être associée à différentes fonctions selon la grandeur étudiée.

3. Questions de réflexion

1. Qu’est-ce qu’une correspondance entre deux ensembles ?
2. Une même valeur de départ peut-elle avoir plusieurs images dans une fonction ?
3. Deux valeurs différentes peuvent-elles avoir la même image ?
4. Comment peut-on représenter une fonction ?
5. Pourquoi les fonctions sont-elles utiles dans les sciences ?

Ces questions nous conduisent à la définition mathématique des fonctions.

PARTIE A : FONCTIONS

Leçon 1 : Relations entre deux ensembles

1.1. Notion d’ensemble

En mathématiques, un ensemble est une collection d’objets bien déterminés appelés éléments.

Exemples :

A={1,2,3,4,5}A=\{1,2,3,4,5\}A={1,2,3,4,5}

B={a,b,c,d}B=\{a,b,c,d\}B={a,b,c,d}

On écrit :

2∈A2\in A2∈A

pour signifier que 2 appartient à l’ensemble A.

On écrit :

7∉A7\notin A7∈/A

pour signifier que 7 n’appartient pas à A.

1.2. Produit cartésien

Soient deux ensembles AAA et BBB.

Le produit cartésien de A par B, noté A×BA\times BA×B, est l’ensemble de tous les couples ordonnés (x,y)(x,y)(x,y) tels que :

x∈Aety∈Bx\in A \quad \text{et}\quad y\in Bx∈Aety∈B

Exemple :

Soient :

A={1,2},B={a,b}A=\{1,2\},\quad B=\{a,b\}A={1,2},B={a,b}

Alors :

A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\}A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}

Attention : en général,

A×B≠B×AA\times B\neq B\times AA×B=B×A

car les couples sont ordonnés.

1.3. Définition d’une relation

Une relation RRR de A vers B est une partie du produit cartésien A×BA\times BA×B.

Autrement dit :

R⊆A×BR\subseteq A\times BR⊆A×B

Les éléments de R sont des couples appelés couples associés par la relation.

Exemple :

Soient :

A={1,2,3},B={2,4,6,8}A=\{1,2,3\},\quad B=\{2,4,6,8\}A={1,2,3},B={2,4,6,8}

Considérons la relation :

R={(1,2),(2,4),(3,6)}R=\{(1,2),(2,4),(3,6)\}R={(1,2),(2,4),(3,6)}

Cette relation associe :

• 1 à 2 ;
• 2 à 4 ;
• 3 à 6.

On peut représenter cette relation par un diagramme sagittal :

Relation R

Chaque flèche représente un couple de la relation.

1.4. Domaine et image d’une relation

Le domaine d’une relation est l’ensemble des premières composantes de ses couples.

L’image est l’ensemble des deuxièmes composantes.

Pour :

R={(1,2),(2,4),(3,6)}R=\{(1,2),(2,4),(3,6)\}R={(1,2),(2,4),(3,6)}

On a :

DR={1,2,3}D_R=\{1,2,3\}DR={1,2,3}

Im(R)={2,4,6}Im(R)=\{2,4,6\}Im(R)={2,4,6}

Le codomaine ou ensemble d’arrivée peut contenir des éléments qui ne sont pas des images.

Leçon 2 : Définition d’une fonction

2.1. Définition

Soient deux ensembles E et F.

Une fonction fff de E vers F est une relation qui associe à chaque élément xxx de E un unique élément yyy de F.

On note :

f:E⟶Ff:E\longrightarrow Ff:E⟶F

x⟼f(x)x\longmapsto f(x)x⟼f(x)

L’élément f(x)f(x)f(x) est appelé l’image de x par f.

L’élément x est appelé un antécédent de f(x)f(x)f(x).

2.2. Exemple

Considérons :

f:R⟶Rf:\mathbb R\longrightarrow\mathbb Rf:R⟶R

f(x)=2x+3f(x)=2x+3f(x)=2x+3

Calculons quelques images :

f(0)=2(0)+3=3f(0)=2(0)+3=3f(0)=2(0)+3=3

f(1)=2(1)+3=5f(1)=2(1)+3=5f(1)=2(1)+3=5

f(2)=2(2)+3=7f(2)=2(2)+3=7f(2)=2(2)+3=7

f(−2)=2(−2)+3=−1f(-2)=2(-2)+3=-1f(−2)=2(−2)+3=−1

Ainsi :

|
Antécédent x

|

Image f(x)

|
| — | — |
|

-2

|

-1

|
|

0

|

3

|
|

1

|

5

|
|

2

|

7

|

2.3. Reconnaître une fonction

Une relation est une fonction si chaque élément de son domaine possède exactement une image.

Cas 1 : Fonction

Chaque élément de départ possède une seule flèche sortante.

Cas 2 : Pas une fonction

Un élément de départ possède deux images différentes.

2.4. Notation fonctionnelle

Si :

f(x)=x2+1f(x)=x^2+1f(x)=x2+1

Alors :

f(3)=32+1=10f(3)=3^2+1=10f(3)=32+1=10

f(−2)=(−2)2+1=5f(-2)=(-2)^2+1=5f(−2)=(−2)2+1=5

Il faut retenir que :

f(x)≠f×xf(x)\neq f\times xf(x)=f×x

La notation f(x)f(x)f(x) désigne la valeur de la fonction pour l’entrée x.

2.5. Déterminer un antécédent

Soit :

f(x)=3x−2f(x)=3x-2f(x)=3x−2

Déterminons l’antécédent de 10.

On résout :

3x−2=103x-2=103x−2=10

3x=123x=123x=12

x=4\boxed{x=4}x=4

Donc 4 est l’antécédent de 10.

2.6. Domaine de définition

Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles son expression a un sens.

Exemples :

Fonction polynomiale :

f(x)=x2−3x+2f(x)=x^2-3x+2f(x)=x2−3x+2

Df=RD_f=\mathbb RDf=R

Fonction rationnelle :

g(x)=1x−4g(x)=\frac{1}{x-4}g(x)=x−41

Le dénominateur ne peut pas être nul :

x−4≠0x-4\neq0x−4=0

Donc :

Dg=R∖{4}D_g=\mathbb R\setminus\{4\}Dg=R∖{4}

Fonction racine :

h(x)=x−2h(x)=\sqrt{x-2}h(x)=x−2

Il faut :

x−2≥0x-2\geq0x−2≥0

Donc :

Dh=[2,+∞[D_h=[2,+\infty[Dh=[2,+∞[

À retenir – Partie A

• Une relation est un ensemble de couples.
• Une fonction associe une seule image à chaque élément de son domaine.
• L’image de x est f(x)f(x)f(x).
• Un antécédent est une valeur de départ.
• Le domaine de définition contient toutes les valeurs admissibles de x.

PARTIE B : APPLICATIONS – INJECTIONS – SURJECTIONS – BIJECTIONS

Leçon 3 : Applications

3.1. Définition

Une application est une fonction définie sur un ensemble de départ E et à valeurs dans un ensemble d’arrivée F, telle que chaque élément de E possède exactement une image dans F.

On note :

f:E⟶Ff:E\longrightarrow Ff:E⟶F

L’ensemble E est appelé domaine de départ et F ensemble d’arrivée.

L’image de E par f est :

f(E)={f(x)∣x∈E}f(E)=\{f(x)\mid x\in E\}f(E)={f(x)∣x∈E}

On a toujours :

f(E)⊆Ff(E)\subseteq Ff(E)⊆F

3.2. Exemple

Soient :

E={1,2,3},F={a,b,c,d}E=\{1,2,3\},\quad F=\{a,b,c,d\}E={1,2,3},F={a,b,c,d}

Définissons :

f(1)=a,f(2)=b,f(3)=bf(1)=a,\quad f(2)=b,\quad f(3)=bf(1)=a,f(2)=b,f(3)=b

Alors :

f(E)={a,b}f(E)=\{a,b\}f(E)={a,b}

Les éléments c et d appartiennent à F mais ne sont pas atteints par l’application.

3.3. Égalité de deux applications

Deux applications f et g sont égales si et seulement si :

1. Elles ont le même ensemble de départ.
2. Elles ont le même ensemble d’arrivée.
3. Elles associent la même image à chaque élément du domaine.

Ainsi :

f=g  ⟺  ∀x∈E, f(x)=g(x)f=g\iff \forall x\in E,\ f(x)=g(x)f=g⟺∀x∈E, f(x)=g(x)

Exemple :

f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2

g(x)=x×xg(x)=x\times xg(x)=x×x

Sur le même domaine et avec le même codomaine, ces deux applications sont égales.

En revanche, deux applications ayant la même expression mais des ensembles de départ différents ne sont pas nécessairement égales.

Leçon 4 : Injection

4.1. Définition

Une application f de E vers F est injective lorsque deux éléments distincts de E ont toujours des images distinctes.

Mathématiquement :

f(x1)=f(x2)⇒x1=x2\boxed{f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2}f(x1)=f(x2)⇒x1=x2

Une autre formulation équivalente est :

x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)x1=x2⇒f(x1)=f(x2)

Une application injective ne donne jamais la même image à deux antécédents distincts.

4.2. Exemple d’injection

Soit :

f:R⟶Rf:\mathbb R\longrightarrow\mathbb Rf:R⟶R

f(x)=2x+1f(x)=2x+1f(x)=2x+1

Démontrons que f est injective.

Supposons :

f(x1)=f(x2)f(x_1)=f(x_2)f(x1)=f(x2)

Alors :

2×1+1=2×2+12x_1+1=2x_2+12×1+1=2×2+1

2×1=2x22x_1=2x_22x1=2×2

x1=x2x_1=x_2x1=x2

Donc f est injective.

4.3. Exemple de non-injection

Considérons :

f:R⟶Rf:\mathbb R\longrightarrow\mathbb Rf:R⟶R

f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2

On a :

f(2)=4f(2)=4f(2)=4

et :

f(−2)=4f(-2)=4f(−2)=4

Or :

2≠−22\neq-22=−2

Donc f n’est pas injective sur R\mathbb RR.

4.4. Remarque importante

La fonction f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 devient injective si son domaine est limité à [0,+∞[[0,+\infty[[0,+∞[.

Le caractère injectif dépend donc des ensembles de départ et d’arrivée.

Leçon 5 : Surjection

5.1. Définition

Une application f de E vers F est surjective lorsque chaque élément de F possède au moins un antécédent dans E.

On écrit :

∀y∈F, ∃x∈E, f(x)=y\boxed{\forall y\in F,\ \exists x\in E,\ f(x)=y}∀y∈F, ∃x∈E, f(x)=y

Cela signifie que l’image de E est égale à F :

f(E)=F\boxed{f(E)=F}f(E)=F

5.2. Exemple de surjection

Soit :

f:R⟶Rf:\mathbb R\longrightarrow\mathbb Rf:R⟶R

f(x)=x+5f(x)=x+5f(x)=x+5

Pour montrer que f est surjective, prenons un réel quelconque y.

Résolvons :

y=x+5y=x+5y=x+5

x=y−5x=y-5x=y−5

Comme y−5∈Ry-5\in\mathbb Ry−5∈R, tout réel y possède un antécédent.

Donc f est surjective.

5.3. Exemple de non-surjection

Soit :

g:R⟶Rg:\mathbb R\longrightarrow\mathbb Rg:R⟶R

g(x)=x2g(x)=x^2g(x)=x2

Les images de g sont toujours positives ou nulles.

Ainsi :

g(R)=[0,+∞[g(\mathbb R)=[0,+\infty[g(R)=[0,+∞[

Les nombres négatifs ne possèdent aucun antécédent réel.

Donc g n’est pas surjective de R\mathbb RR vers R\mathbb RR.

Cependant :

g:R⟶[0,+∞[g:\mathbb R\longrightarrow[0,+\infty[g:R⟶[0,+∞[

est surjective.

Leçon 6 : Bijection

6.1. Définition

Une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective.

Autrement dit, chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède un unique antécédent.

Bijection=Injection+Surjection\boxed{\text{Bijection}=\text{Injection}+\text{Surjection}}Bijection=Injection+Surjection

6.2. Exemple

Soit :

f:R⟶Rf:\mathbb R\longrightarrow\mathbb Rf:R⟶R

f(x)=3x−4f(x)=3x-4f(x)=3x−4

• f est injective, car f(x1)=f(x2)f(x_1)=f(x_2)f(x1)=f(x2) implique x1=x2x_1=x_2x1=x2.
• f est surjective, car pour tout réel y, l’équation y=3x−4y=3x-4y=3x−4 admet la solution x=y+43x=\frac{y+4}{3}x=3y+4.

Donc f est bijective.

6.3. Tableau comparatif

|
Propriété

|

Signification

|
| — | — |
|

Injective

|

Au plus un antécédent par élément d’arrivée

|
|

Surjective

|

Au moins un antécédent par élément d’arrivée

|
|

Bijective

|

Exactement un antécédent par élément d’arrivée

|

6.4. Illustration conceptuelle

Les trois types d’applications

Injection

Des éléments de l’arrivée peuvent rester sans antécédent, mais aucune image n’est partagée.

Surjection

Toutes les valeurs d’arrivée sont atteintes, mais plusieurs éléments peuvent partager une image.

Bijection

Chaque élément d’arrivée est atteint une seule fois.

Leçon 7 : Application réciproque

7.1. Définition

Soit une application bijective :

f:E⟶Ff:E\longrightarrow Ff:E⟶F

L’application réciproque de f, notée f−1f^{-1}f−1, est l’application de F vers E qui associe à chaque élément y son unique antécédent par f.

f−1:F⟶Ef^{-1}:F\longrightarrow Ef−1:F⟶E

Si :

f(x)=yf(x)=yf(x)=y

alors :

f−1(y)=xf^{-1}(y)=xf−1(y)=x

7.2. Exemple détaillé

Soit :

f(x)=2x+6f(x)=2x+6f(x)=2x+6

Déterminons sa réciproque.

On pose :

y=2x+6y=2x+6y=2x+6

Isolons x :

2x=y−62x=y-62x=y−6

x=y−62x=\frac{y-6}{2}x=2y−6

On remplace y par x :

f−1(x)=x−62\boxed{f^{-1}(x)=\frac{x-6}{2}}f−1(x)=2x−6

7.3. Vérification

Une fonction et sa réciproque vérifient :

f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=xf−1(f(x))=x

et :

f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x))=xf(f−1(x))=x

Dans notre exemple :

f−1(f(x))=(2x+6)−62=xf^{-1}(f(x))=\frac{(2x+6)-6}{2}=xf−1(f(x))=2(2x+6)−6=x

La relation est vérifiée.

7.4. Méthode générale pour trouver la réciproque

1. Écrire y=f(x)y=f(x)y=f(x).
2. Résoudre cette égalité par rapport à x.
3. Exprimer x en fonction de y.
4. Remplacer y par x.
5. Préciser les ensembles de définition et d’arrivée.

7.5. Propriétés

Si f est bijective, alors :

f−1∘f=IdEf^{-1}\circ f=Id_Ef−1∘f=IdE

f∘f−1=IdFf\circ f^{-1}=Id_Ff∘f−1=IdF

où IdIdId désigne l’application identité.

De plus :

(f−1)−1=f(f^{-1})^{-1}=f(f−1)−1=f

7.6. Exemple avec une fonction quadratique

Considérons :

f:[0,+∞[⟶[0,+∞[f:[0,+\infty[\longrightarrow[0,+\infty[f:[0,+∞[⟶[0,+∞[

f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2

Cette application est bijective.

Sa réciproque est :

f−1(x)=x\boxed{f^{-1}(x)=\sqrt{x}}f−1(x)=x

Attention : la fonction x2x^2×2 définie sur tout R\mathbb RR n’est pas bijective vers R\mathbb RR. La restriction du domaine est nécessaire.

Leçon 8 : Représentation graphique des applications

8.1. Repère cartésien

Un repère cartésien est constitué de deux axes perpendiculaires :

• L’axe horizontal des abscisses.
• L’axe vertical des ordonnées.

Un point M du plan est représenté par ses coordonnées :

M(x,y)M(x,y)M(x,y)

Pour une fonction fff, les points de sa représentation graphique sont de la forme :

M(x,f(x))M(x,f(x))M(x,f(x))

8.2. Courbe représentative

La courbe représentative d’une fonction f est l’ensemble des points :

Cf={(x,f(x))∣x∈Df}C_f=\{(x,f(x))\mid x\in D_f\}Cf={(x,f(x))∣x∈Df}

8.3. Exemple : f(x)=2x+1f(x)=2x+1f(x)=2x+1

Construisons un tableau de valeurs.

|
x

|

-2

|

-1

|

0

|

1

|

2

|
| — | — | — | — | — | — |
|

f(x)

|

-3

|

-1

|

1

|

3

|

5

|

Les points sont :

(−2,−3),(−1,−1),(0,1),(1,3),(2,5)(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3),(2,5)(−2,−3),(−1,−1),(0,1),(1,3),(2,5)

Courbe de la fonction affine

Illustration de la droite représentative de f(x)=2x+1f(x)=2x+1f(x)=2x+1.

8.4. Test graphique d’une fonction

Une courbe représente une fonction de x si toute droite verticale la coupe au plus une fois.

C’est le test de la droite verticale.

8.5. Représentation graphique de la réciproque

Si f est bijective, les courbes de f et de f−1f^{-1}f−1 sont symétriques par rapport à la droite :

y=xy=xy=x

Cette propriété vient de l’échange des coordonnées :

(x,y)⟷(y,x)(x,y)\longleftrightarrow(y,x)(x,y)⟷(y,x)

8.6. Lecture graphique

À partir d’un graphique, on peut déterminer :

• L’image d’un nombre.
• Les antécédents d’une valeur.
• Les intersections avec les axes.
• Les intervalles de croissance et de décroissance.
• Les valeurs maximales et minimales, lorsqu’elles existent.

Application guidée

Soit :

f(x)=x2−4f(x)=x^2-4f(x)=x2−4

Calculons :

f(0)=−4f(0)=-4f(0)=−4

f(2)=0f(2)=0f(2)=0

f(−2)=0f(-2)=0f(−2)=0

Les antécédents de 0 sont :

x=−2oux=2x=-2\quad \text{ou}\quad x=2x=−2oux=2

La fonction n’est donc pas injective sur R\mathbb RR.

PARTIE C : OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS

Leçon 9 : Addition de deux fonctions

9.1. Définition

Soient f et g deux fonctions.

La somme de f et g est la fonction notée f+gf+gf+g, définie par :

(f+g)(x)=f(x)+g(x)\boxed{(f+g)(x)=f(x)+g(x)}(f+g)(x)=f(x)+g(x)

Son domaine est :

Df+g=Df∩DgD_{f+g}=D_f\cap D_gDf+g=Df∩Dg

9.2. Exemple

Soient :

f(x)=2x+3f(x)=2x+3f(x)=2x+3

g(x)=x2−1g(x)=x^2-1g(x)=x2−1

Alors :

(f+g)(x)=2x+3+x2−1(f+g)(x)=2x+3+x^2-1(f+g)(x)=2x+3+x2−1

Donc :

(f+g)(x)=x2+2x+2\boxed{(f+g)(x)=x^2+2x+2}(f+g)(x)=x2+2x+2

Calculons à x=2x=2x=2 :

(f+g)(2)=4+4+2=10(f+g)(2)=4+4+2=10(f+g)(2)=4+4+2=10

9.3. Propriétés

La somme des fonctions est commutative :

f+g=g+ff+g=g+ff+g=g+f

Elle est associative :

(f+g)+h=f+(g+h)(f+g)+h=f+(g+h)(f+g)+h=f+(g+h)

La fonction nulle est l’élément neutre :

f+0=ff+0=ff+0=f

Leçon 10 : Produit de deux fonctions

10.1. Définition

Le produit de f et g est :

(fg)(x)=f(x)×g(x)\boxed{(fg)(x)=f(x)\times g(x)}(fg)(x)=f(x)×g(x)

Son domaine est :

Dfg=Df∩DgD_{fg}=D_f\cap D_gDfg=Df∩Dg

10.2. Exemple

Soient :

f(x)=x+2f(x)=x+2f(x)=x+2

g(x)=x−3g(x)=x-3g(x)=x−3

Alors :

(fg)(x)=(x+2)(x−3)(fg)(x)=(x+2)(x-3)(fg)(x)=(x+2)(x−3)

En développant :

(fg)(x)=x2−x−6\boxed{(fg)(x)=x^2-x-6}(fg)(x)=x2−x−6

10.3. Propriétés

fg=gffg=gffg=gf

(fg)h=f(gh)(fg)h=f(gh)(fg)h=f(gh)

f(g+h)=fg+fhf(g+h)=fg+fhf(g+h)=fg+fh

Leçon 11 : Quotient de deux fonctions

11.1. Définition

Le quotient de f par g est :

(fg)(x)=f(x)g(x)\boxed{\left(\frac fg\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}}(gf)(x)=g(x)f(x)

Il est défini uniquement lorsque :

g(x)≠0g(x)\neq0g(x)=0

Son domaine est donc :

Dfg={x∈Df∩Dg∣g(x)≠0}D_{\frac fg}=\{x\in D_f\cap D_g\mid g(x)\neq0\}Dgf={x∈Df∩Dg∣g(x)=0}

11.2. Exemple

Soient :

f(x)=x+1f(x)=x+1f(x)=x+1

g(x)=x−4g(x)=x-4g(x)=x−4

Alors :

(fg)(x)=x+1x−4\boxed{\left(\frac fg\right)(x)=\frac{x+1}{x-4}}(gf)(x)=x−4x+1

La condition est :

x−4≠0x-4\neq0x−4=0

Donc :

Dfg=R∖{4}D_{\frac fg}=\mathbb R\setminus\{4\}Dgf=R∖{4}

11.3. Erreur fréquente

On ne peut jamais diviser par zéro.

Par exemple :

x+2×2−9\frac{x+2}{x^2-9}x2−9x+2

Il faut résoudre :

x2−9≠0x^2-9\neq0x2−9=0

(x−3)(x+3)≠0(x-3)(x+3)\neq0(x−3)(x+3)=0

Donc :

D=R∖{−3,3}\boxed{D=\mathbb R\setminus\{-3,3\}}D=R∖{−3,3}

Leçon 12 : Composition de fonctions

12.1. Définition

Soient deux fonctions f et g telles que les valeurs de g puissent être utilisées comme entrées de f.

La composée de f par g, notée f∘gf\circ gf∘g, est définie par :

(f∘g)(x)=f(g(x))\boxed{(f\circ g)(x)=f(g(x))}(f∘g)(x)=f(g(x))

On applique d’abord g, puis f.

12.2. Exemple détaillé

Soient :

f(x)=2x+1f(x)=2x+1f(x)=2x+1

g(x)=x2g(x)=x^2g(x)=x2

Calculons f∘gf\circ gf∘g.

(f∘g)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x)=f(g(x))(f∘g)(x)=f(g(x))

Puisque :

g(x)=x2g(x)=x^2g(x)=x2

On obtient :

f(x2)=2×2+1f(x^2)=2x^2+1f(x2)=2×2+1

Donc :

(f∘g)(x)=2×2+1\boxed{(f\circ g)(x)=2x^2+1}(f∘g)(x)=2×2+1

Calculons maintenant g∘fg\circ fg∘f.

(g∘f)(x)=g(2x+1)(g\circ f)(x)=g(2x+1)(g∘f)(x)=g(2x+1)

=(2x+1)2=(2x+1)^2=(2x+1)2

(g∘f)(x)=4×2+4x+1\boxed{(g\circ f)(x)=4x^2+4x+1}(g∘f)(x)=4×2+4x+1

On remarque que :

f∘g≠g∘f\boxed{f\circ g\neq g\circ f}f∘g=g∘f

La composition n’est généralement pas commutative.

12.3. Propriété d’associativité

La composition est associative :

(f∘g)∘h=f∘(g∘h)(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)(f∘g)∘h=f∘(g∘h)

12.4. Composition et identité

f∘Id=Id∘f=ff\circ Id=Id\circ f=ff∘Id=Id∘f=f

12.5. Composition et réciproque

Si f et g sont bijectives :

(f∘g)−1=g−1∘f−1\boxed{(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}}(f∘g)−1=g−1∘f−1

L’ordre des fonctions est inversé.

12.6. Exemple d’application concrète

Un magasin applique une taxe de 10 % sur le prix d’un produit, puis une réduction de 5 % sur le montant taxé.

Soit x le prix initial.

Taxation :

f(x)=1,10xf(x)=1,10xf(x)=1,10x

Réduction :

g(x)=0,95xg(x)=0,95xg(x)=0,95x

Le prix final est :

(g∘f)(x)=0,95(1,10x)(g\circ f)(x)=0,95(1,10x)(g∘f)(x)=0,95(1,10x)

(g∘f)(x)=1,045x\boxed{(g\circ f)(x)=1,045x}(g∘f)(x)=1,045x

Pour un produit de 1 000 gourdes :

Pf=1 045 gourdesP_f=1\,045\text{ gourdes}Pf=1045 gourdes

La composition permet de modéliser plusieurs transformations successives.

PARTIE D : LES FONCTIONS NUMÉRIQUES USUELLES

Leçon 13 : Les fonctions polynômes

13.1. Définition

Une fonction polynomiale est une fonction qui peut s’écrire sous la forme :

P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0\boxed{P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0

où les coefficients aia_iai sont des nombres réels et n est un entier naturel.

Le terme de plus haut degré dont le coefficient est non nul détermine le degré du polynôme.

13.2. Exemples

Polynôme de degré 0 :

f(x)=5f(x)=5f(x)=5

Polynôme de degré 1 :

g(x)=3x−2g(x)=3x-2g(x)=3x−2

Polynôme de degré 2 :

h(x)=x2−4x+3h(x)=x^2-4x+3h(x)=x2−4x+3

Polynôme de degré 3 :

P(x)=2×3−x2+5x−1P(x)=2x^3-x^2+5x-1P(x)=2×3−x2+5x−1

Toutes les fonctions polynomiales sont définies sur :

R\boxed{\mathbb R}R

13.3. Fonction constante

f(x)=kf(x)=kf(x)=k

Sa représentation graphique est une droite horizontale.

13.4. Fonction affine

f(x)=ax+b\boxed{f(x)=ax+b}f(x)=ax+b

où a et b sont réels.

• a est le coefficient directeur.
• b est l’ordonnée à l’origine.

Si a>0a>0a>0, la fonction est strictement croissante.

Si a<0a<0a<0, elle est strictement décroissante.

Si a=0a=0a=0, elle est constante.

13.5. Fonction linéaire

Une fonction linéaire est une fonction de la forme :

f(x)=ax\boxed{f(x)=ax}f(x)=ax

Sa représentation graphique est une droite passant par l’origine.

13.6. Fonction carré

f(x)=x2\boxed{f(x)=x^2}f(x)=x2

Domaine :

Df=RD_f=\mathbb RDf=R

Image :

Im(f)=[0,+∞[Im(f)=[0,+\infty[Im(f)=[0,+∞[

Propriétés :

• Fonction paire.
• Décroissante sur ]−∞,0]]-\infty,0]]−∞,0].
• Croissante sur [0,+∞[[0,+\infty[[0,+∞[.
• Minimum égal à 0, atteint en x = 0.

13.7. Fonction cube

f(x)=x3\boxed{f(x)=x^3}f(x)=x3

Domaine :

Df=RD_f=\mathbb RDf=R

Image :

Im(f)=RIm(f)=\mathbb RIm(f)=R

Propriétés :

• Fonction impaire.
• Strictement croissante sur R\mathbb RR.
• Bijective de R\mathbb RR vers R\mathbb RR.

Sa fonction réciproque est :

f−1(x)=x3f^{-1}(x)=\sqrt33{x}f−1(x)=3x

Leçon 14 : La fonction valeur absolue

14.1. Définition

La valeur absolue d’un réel x, notée ∣x∣|x|∣x∣, représente sa distance à zéro sur la droite réelle.

∣x∣={xsi x≥0−xsi x<0\boxed{|x|=\begin{cases} x & \text{si }x\geq0\\ -x & \text{si }x<0 \end{cases}}∣x∣={x−xsi x≥0si x<0

Exemples :

∣5∣=5|5|=5∣5∣=5

∣−5∣=5|-5|=5∣−5∣=5

∣0∣=0|0|=0∣0∣=0

Loading

14.2. Fonction valeur absolue

f(x)=∣x∣\boxed{f(x)=|x|}f(x)=∣x∣

Son domaine est :

Df=RD_f=\mathbb RDf=R

Son image est :

Im(f)=[0,+∞[Im(f)=[0,+\infty[Im(f)=[0,+∞[

14.3. Propriétés

• La fonction est paire.
• Elle est décroissante sur ]−∞,0]]-\infty,0]]−∞,0].
• Elle est croissante sur [0,+∞[[0,+\infty[[0,+∞[.
• Elle admet un minimum égal à 0.

14.4. Représentation graphique

La courbe a la forme d’un V.

14.5. Équations avec valeur absolue

Pour a≥0a\geq0a≥0 :

∣x∣=a  ⟺  x=a ou x=−a|x|=a\iff x=a\text{ ou }x=-a∣x∣=a⟺x=a ou x=−a

Exemple :

∣x∣=7|x|=7∣x∣=7

Les solutions sont :

S={−7,7}\boxed{S=\{-7,7\}}S={−7,7}

Pour une valeur strictement négative de a, l’équation ∣x∣=a|x|=a∣x∣=a n’a aucune solution réelle.

14.6. Inéquations

Pour a>0a>0a>0 :

∣x∣<a  ⟺  −a<x<a|x|<a\iff -a<x<a∣x∣<a⟺−a<x<a

∣x∣>a  ⟺  x<−a ou x>a|x|>a\iff x<-a\text{ ou }x>a∣x∣>a⟺x<−a ou x>a

Exemple :

∣x−2∣≤3|x-2|\leq3∣x−2∣≤3

−3≤x−2≤3-3\leq x-2\leq3−3≤x−2≤3

−1≤x≤5-1\leq x\leq5−1≤x≤5

Donc :

S=−1,5−1,5\boxed{S=−1,5-1,5}S=−1,5−1,5

Leçon 15 : Les fonctions rationnelles

15.1. Définition

Une fonction rationnelle est une fonction qui s’écrit comme le quotient de deux polynômes :

f(x)=P(x)Q(x)\boxed{f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}}f(x)=Q(x)P(x)

avec :

Q(x)≠0Q(x)\neq0Q(x)=0

Son domaine exclut les racines du dénominateur.

15.2. Exemple

f(x)=x+1x−2f(x)=\frac{x+1}{x-2}f(x)=x−2x+1

Condition :

x−2≠0x-2\neq0x−2=0

Donc :

Df=R∖{2}\boxed{D_f=\mathbb R\setminus\{2\}}Df=R∖{2}

15.3. Fonction inverse

La fonction inverse est :

f(x)=1x\boxed{f(x)=\frac1x}f(x)=x1

Domaine :

Df=R∖{0}D_f=\mathbb R\setminus\{0\}Df=R∖{0}

Image :

Im(f)=R∖{0}Im(f)=\mathbb R\setminus\{0\}Im(f)=R∖{0}

Propriétés :

• Fonction impaire.
• Strictement décroissante sur chacun des intervalles ]−∞,0-\infty,0−∞,0etet0,+∞0,+\infty0,+∞[.
• Sa courbe est une hyperbole.
• Les axes de coordonnées sont ses asymptotes.

15.4. Étude de signe de la fonction inverse

|
x

|

]−∞,0-\infty,0−∞,0[

|

0

|

]0,+∞0,+\infty0,+∞[

|
| — | — | — | — |
|

1/x1/x1/x

|

–

|

Non défini

|

|

15.5. Exemple de résolution

Résolvons :

x+2x−3=0\frac{x+2}{x-3}=0x−3x+2=0

Une fraction est nulle lorsque son numérateur est nul et son dénominateur non nul.

x+2=0x+2=0x+2=0

x=−2x=-2x=−2

La valeur -2 est autorisée.

Donc :

S={−2}\boxed{S=\{-2\}}S={−2}

Leçon 16 : La fonction racine carrée

16.1. Définition

La fonction racine carrée est définie par :

f(x)=x\boxed{f(x)=\sqrt{x}}f(x)=x

Elle associe à tout réel positif ou nul son unique racine carrée positive ou nulle.

16.2. Domaine de définition

La racine carrée d’un réel négatif n’est pas définie dans R\mathbb RR.

Il faut :

x≥0x\geq0x≥0

Donc :

Df=[0,+∞[\boxed{D_f=[0,+\infty[}Df=[0,+∞[

16.3. Tableau de valeurs

|
x

|

0

|

1

|

4

|

9

|

16

|

25

|
| — | — | — | — | — | — | — |
|

x\sqrt{x}x

|

0

|

1

|

2

|

3

|

4

|

5

|

16.4. Propriétés

• La fonction est strictement croissante sur son domaine.
• Son image est [0,+∞[[0,+\infty[[0,+∞[.
• Elle est la réciproque de la fonction carré restreinte à [0,+∞[[0,+\infty[[0,+∞[.

16.5. Règles de calcul

Pour a,b≥0a,b\geq0a,b≥0 :

ab=ab\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt bab=ab

Pour a≥0a\geq0a≥0 et b>0b>0b>0 :

ab=ab\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}ba=ba

Attention :

a+b≠a+b\boxed{\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b}a+b=a+b

en général.

16.6. Exemple

Simplifions :

72\sqrt{72}72

=36×2=\sqrt{36\times2}=36×2

=62=6\sqrt2=62

Donc :

72=62\boxed{\sqrt{72}=6\sqrt2}72=62

16.7. Équation avec racine

Résolvons :

x+5=4\sqrt{x+5}=4x+5=4

Condition :

x+5≥0x+5\geq0x+5≥0

En élevant au carré :

x+5=16x+5=16x+5=16

x=11\boxed{x=11}x=11

Vérification :

11+5=4\sqrt{11+5}=411+5=4

La solution est correcte.

Leçon 17 : La fonction partie entière

17.1. Définition

La partie entière d’un réel x, notée ⌊x⌋\lfloor x\rfloor⌊x⌋, est le plus grand entier inférieur ou égal à x.

Elle est caractérisée par :

⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1\boxed{\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1}⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1

17.2. Exemples

⌊3,7⌋=3\lfloor3,7\rfloor=3⌊3,7⌋=3

⌊8⌋=8\lfloor8\rfloor=8⌊8⌋=8

⌊−2,3⌋=−3\lfloor-2,3\rfloor=-3⌊−2,3⌋=−3

⌊−5⌋=−5\lfloor-5\rfloor=-5⌊−5⌋=−5

Attention : pour un nombre négatif non entier, on prend l’entier inférieur, et non celui qui est le plus proche de zéro.

17.3. Fonction partie entière

f(x)=⌊x⌋\boxed{f(x)=\lfloor x\rfloor}f(x)=⌊x⌋

Domaine :

Df=RD_f=\mathbb RDf=R

Image :

Im(f)=ZIm(f)=\mathbb ZIm(f)=Z

17.4. Propriétés

Pour tout entier n :

⌊x⌋=n  ⟺  n≤x<n+1\lfloor x\rfloor=n \iff n\leq x<n+1⌊x⌋=n⟺n≤x<n+1

La fonction est croissante au sens large.

Elle est constante sur chaque intervalle :

undefined